प्रक्षेप्य गति -

समतलीय गति

जब कोई वस्तु एक समतल में गति करता है , तो उसकी गति को समतलीय गति अथवा द्विविमीय गति कहते है ।

द्विविमीय गति = एक विमीय गति + एक विमीय गति

अर्थात किसी समतल ( दो विमीय ) में गति को दो अलग अलग – अलग समकालिक एक विमीय गति गतियों के रूप में समझ सकते है , जो परस्पर लंबवत दिशाओं के अनुदिश हो ।

अतः एक विमीय गति का सूत्र हम द्विविमीय गति में उपस्थित दो समकालिक एक विमीय गति में स्वतंत्र रूप से लगा सकते है ।

द्विविमीय गति के लिए

$\dpi{120} \fn_cm \vec{s}= \vec{u}t+\frac{1}{2}\vec{a}t^2$

$\dpi{120} \fn_cm \Rightarrow (\vec{s}_x+\vec{s}_y)=(\vec{u}_x+\vec{y}_y)+\frac{1}{2}(\vec{a}_x +\vec{a}_y)t^2$

$\dpi{120} \fn_cm \Rightarrow (\vec{s}_x + \vec{s}_y)=(\vec{u}_x+\frac{1}{2}\vec{a}_x t^2) + (\vec{u}_y+\frac{1}{2}\vec{a}_y t^2)$

$\dpi{120} \fn_cm \therefore \;\;\vec{s}_x=\vec{u}_x+\frac{1}{2}\vec{a}_x t^2 \;\;\;\;\; and \;\;\;\;\;\vec{s}_y=\vec{u}_y+\frac{1}{2}\vec{a}_y t^2$

उसी प्रकार

$\dpi{120} \fn_cm \vec{v}_x = \vec{u}_x +\vec{a}_x t\;\;\;\;\; and \;\;\;\;\;\vec{v}_y = \vec{u}_y +\vec{a}_y t$

संख्यात्मक प्रश्न ( Numerical)

(1) एक कण x-y तल के मूल बिंदु से चलना आरम्भ करता है और 2 sec के पश्चात बिंदु (3,2) पर होता है । 2 sec के बाद कण का विस्थापन ज्ञात कीजिये । $\left ( 3\hat{i}+2\hat{i} \right )$

(2) एक पिंड 20 m/s के क्षैतिज वेग से फेंका जाता है । सदिश आरेख खींचकर 5 sec पश्चात् पिंड का विस्थापन ज्ञात कीजिये । (160m)

(3) एक कण x-y तल में बिंदु A(1,2) से बिंदु B तक 5 sec में गति करता है । इस अवधि के दौरान कण का विस्थापन ज्ञात कीजिये । (√10 इकाई )

(4) t=0 पर x-y तल में किसी कण का स्थिति सदिश $\fn_cm 2\hat{i}+4\hat{j}\;m$ द्वारा दिया जाता है । 2 sec में कण द्वारा प्राप्त किया गया वेग $\fn_cm (4\hat{i}+3\hat{j})\;m/s$ है । t=2 sec पर कण के x- तथा y- निर्देशांक ज्ञात कीजिये । (10m, 10m)

(5) कण की स्थिति $\fn_cm \hat{r}=[(3t)\hat{i}+(4t^3)\hat{j}+5\hat{k}]m$ द्वारा दी जाती है । ज्ञात कीजिये (a) कण का वेग और त्वरण (b) t=5 sec पर कण का वेग और त्वरण का परिमाण ) ( 17.58 m/s, 120 m/s²)

(6) किसी कण की स्थिति $\fn_cm \vec{r}=2t \;\hat{i}+3 t^2\hat{j}+5\hat{k}$ है । सभी S.I में है । ज्ञात कीजिये (a) कण का वेग और त्वरण (b) t=5 s पर वेग का परिमाण और (c) t=5 sec पर कण के वेग की दिशा । $\fn_cm (2\hat{i}+6t\hat{j} \;m/s\;,\;6\hat{j}m/s^2 \;\sqrt{904}\;m/s\;,\;tan\theta=15)$

(7) एक समतल में गतिमान पिंड के किसी क्षण t पर निर्देशांक x=ct² तथा y=bt² है । पिंड का वेग ज्ञात कीजिये । ( $\fn_cm (2t\sqrt{c^2+b^2})$

(8) द्विविमीय गति में एक कण के स्थिति निर्देशांक समय के साथ निम्नानुसार परिवर्तित होते है । x=5-4t+5t², y=12-2t+3t² सभी S.I में है । ज्ञात कीजिये (a) कण की मूलबिंदु से प्रारंभिक दुरी (b) गति प्रारम्भ करने के 6 sec बाद कण की मूल बिंदु से दुरी और इसके स्थित सदिश तथा x- अक्ष के बीच बना कोण (c) गति प्रारम्भ करने के 8 sec बाद कण का वेग तथा त्वरण । ( 13 मीटर, 193.9 m , 33.8°, 88.8 m/s, 31.2° और 11.7 m/s, 31°)

प्रक्षेप्य गति

जब किसी वस्तु को किसी प्रारंभिक वेग से ऊर्ध्वाधर के अलावा अन्य दिशा में फेंका जाता है तो वह वस्तु अचर गरुत्वीय त्वरण (g=9.8 m/s²) के अंतर्गत गति करती हुई पृथ्वी पर किसी अन्य स्थान पर गिरती है, तो वस्तु की इस गति को प्रक्षेप्य गति कहते है।

प्रक्षेप्य पथ हमेशा परवलयाकार होता है।

जैसे – तोपसे छूटा गोला , धनुष से निकला बाण , गतिमान ट्रेन की खिड़की से गिराई गयी एक वस्तु , हवाई जहाज से गिराया गया बम इत्यादि।

प्रक्षेप्य गति को सदैव दो सरल गतियों में वियोजित किया जा सकता है। क्षैतिज दिशा में गति तथा ऊर्ध्वाधर दिशा में गति , जो एक दूसरे से पूर्णतः स्वतंत्र होती है।

नोट:- क्षैतिज दिशा का गति समरूप गति होती है तथा ऊर्ध्वाधर दिशा की गति एकसमान त्वरित गति होती है।

क्षैतिज से किसी कोण पर प्रक्षेपित प्रक्षेप्य

माना की एक प्रक्षेप्य t=0 समय में u वेग से क्षैतिज के साथ कोण बनाता हुआ बिंदु O से ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। यह उच्चतम बिंदु A से होता हुआ समान क्षैतिज तल पर बिंदु B पर गिरता है।

वस्तु पर नियत गरुत्वीय त्वरण (g) ऊर्ध्वाधर निचे की ओर लगता है।

उड्डयन काल

प्रक्षेप्य की पूरी गति में जितना समय लगता है उसे उड्डयन काल कहते है। ऐसे T द्वारा सूचित किया जाता है।

हम जानते है की $\fn_cm s=ut+\frac{1}{2}at^2$

y- अक्ष की ओर (O से B तक के लिए )

$\fn_cm \Rightarrow 0=u\sin\theta T-\frac{1}{2}gT^2\;\;\;\;\;{\color{Red} \mathbf{\left [ T=\frac{2u\sin\theta}{g} \right ]}}$

क्षैतिज परास :-

प्रक्षेप्य के क्षैतिज दिशा में विस्थापन को उसका क्षैतिज परास कहते है , इसे R द्वारा सूचित किया जाता है।

हम जानते है की $\fn_cm s=ut+\frac{1}{2}at^2$

x – अक्ष की ओर (O से B तक के लिए )

$\fn_cm \Rightarrow R=u\cos\theta T+ (\frac{1}{2}\times0\times T^2)$

$\fn_cm \Rightarrow R=u\cos\theta.\frac{2u\sin\theta}{g}$

$\fn_cm {\color{Red} \mathbf{\left [ R=\frac{u^2\sin2\theta}{g} \right ]}}$

महत्तम ऊंचाई :-

इसे H द्वारा सूचित किया जाता है।

हम जानते है की $\fn_cm v^2=u^2+2as$

x- अक्ष की ओर (O से A तक के लिए )

$\fn_cm 0^2=(u\sin\theta)^2-2gH$

$\fn_cm \Rightarrow u^2 \sin^2\theta=2gH$

$\fn_cm {\color{Red} \mathbf{\left [ H=\frac{u^2 \sin ^2\theta}{2g} \right ]}}$

अधिकतम क्षैतिज परास के लिए प्रक्षेपण कोण :-

हम जानते है की $\fn_cm R=\frac{u^2 sin 2\theta}{g}$

R का मान महत्तम होने के लिए , $\fn_cm sin 2\theta$ का मान महत्तम होना चाहिए ।

अर्थात $\fn_cm sin 2\theta$ =1 या $\fn_cm \theta=45^{\circ}$

अतः प्रक्षेप्य को अधिकतम दुरी तक फेंकने के लिए उसे क्षैतिज से 45⁰ के कोण पर ऊपर की ओर प्रक्षेपित करना चाहिए।

और अधिकतम परास होगी $\fn_cm \therefore \;R_{max}=\frac{u^2 \sin90^{\circ}}{g}\;\;\;\;\;{\color{Red} \mathbf{\left [ R_{max}=\frac{u^2}{g} \right ]}}$

एक परास के लिए दो प्रक्षेपण कोण

हम जानते है की क्षैतिज से प्रक्षेपित किसी प्रक्षेप्य का परास होता है

$\fn_cm R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}$

माना की $\fn_cm \theta_1=\theta$ , क्षैतिज परास का मान होगा

$\fn_cm R_1=\frac{u^2\sin2\theta}{g}-----(1)$

उसी प्रकार $\fn_cm \theta_2=90^{\circ}-\theta$ के लिए क्षैतिज परास का मान होगा

$\fn_cm R_2=\frac{u^2\sin2(90^{\circ}-\theta)}{g}$

$\fn_cm R_2=\frac{u^2\sin(180^{\circ}-2\theta)}{g}$

$\fn_cm R_2=\frac{u^2\sin2\theta}{g}-----(2)$

समीकरण (1) तथा (2) के लिए $\fn_cm \left [ R_1=R_2 \right ]$

अतः यह स्पष्ट है की प्रक्षेपण कोण $\fn_cm \theta$ तथा $\fn_cm (90^0-\theta)$ दोनों के लिए क्षैतिज परास का मान समान रहता है।

इन दोनों में उड्डयन काल का मान अलग अलग होगा

प्रक्षेप्य का पथ तथा समीकरण

माना, किसी क्षण t पर प्रक्षेप्य , बिंदु P(x,y) पर है।

हम जानते है की $\fn_cm s=ut+\frac{1}{2}at^2$

x- अक्ष की ओर $\fn_cm x=u\cos\theta.t\;\;\;\;\;\therefore t=\frac{x}{u\cos\theta}-----(1)$

y- अक्ष की ओर $\fn_cm y=u\sin\theta-\frac{1}{2}gt^2$

समीकरण (1) से t का मान समीकरण (2) में रखने पर

$\fn_cm y=u\sin\theta\left ( \frac{x}{u\cos\theta} \right )-\frac{1}{2}g\left ( \frac{x}{u\cos\theta} \right )^2$

$\fn_cm y=x\left ( \tan\theta \right )-\left ( \frac{g}{2u^2\cos^2\theta} \right )x^2$

$\fn_cm \left [ \mathbf{y=ax-bx^2} \right ]$

यह समीकरण Y में एकघातीय तथा X में द्विघातीय है , जो एक परवलय को प्रदर्शित करता है। अतः स्पष्ट है की प्रक्षेप्य का पथ परवलयाकार होता है।

अब , $\fn_cm y=x\tan\theta\left [ 1-\frac{gx}{2u^2\cos^2\theta\tan\theta} \right ]$

$\fn_cm y=x\tan\theta\left [ 1-\frac{x}{\frac{u^2(2\sin\theta\cos\theta)}{R}} \right ]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\color{Red} \mathbf{\left [ y=x\tan\theta\left ( 1-\frac{x}{R} \right ) \right ]}}$

किसी भी क्षण प्रक्षेप्य का वेग

हम जानते है की $\fn_cm v=u+at$

t समय के बाद प्रक्षेप्य का x- तथा y- अक्ष में वेग होगा

$\fn_cm v_x=u\cos\theta\;\;\;\;\;and\;\;\;v_y=u\sin\theta-gt$

इसीलिए $\fn_cm \vec{v}_0=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}$

अतः किसी भी क्षण , प्रक्षेप्य के वेग का मान होगा $\fn_cm v_0=\sqrt{(v_x)^2+(v_y)^2}$

$\fn_cm \mathbf{\left [ \sqrt{v_0=(u\cos\theta)^2+(u\sin\theta-gt)^2} \right ]}$

इसकी दिशा हमेशा स्पर्श रेखा की दिशा की ओर होती है ।

चित्र के अनुसार $\fn_cm \mathbf{\left [ \tan\beta=\frac{v_y}{v_x}=\frac{u\sin\theta-gt}{u\cos\theta} \right ]}$

NOTE:- In projectile motion ( ground to ground) a body returns to the ground at the same angle and with the same speed at which it was projected